Algcol
(mémento algébrique niveau collège)

Nombres relatifs.

1) Définitions. (6^ième).
Un nombre négatif est un nombre inférieur à 0 .
Un nombre positif est un nombre supérieur à 0.
Un nombre relatif est un nombre positif ou  négatif.
Remarque :  seul 0 est à la fois positif et négatif.

2) Droite graduée. (6^ième).
Une droite graduée (ou axe) est une droite munie d’une origine O et d’un point I tel que OI = 1.

3) Nombres opposés. (6^ième).
Deux nombres sont dits opposés s’ils ont la même partie numérique et des signes différents.
Exemple. + 3,5 et – 3,5 sont deux nombres opposés. Sur une droite graduée les points d’abscisses opposées sont symétriques par rapport à l’origine de l’axe.

4) Abscisse. (6^ième).
Un point d’une droite graduée peut être repéré   par un nombre appelé abscisse. Par exemple l’origine O d’une droite graduée a pour abscisse 0 et I, tel que OI = 1,   a pour abscisse 1.

5) Comparaison. (5^ième).
a) Si deux nombres relatifs sont de signes différents le plus grand des deux est toujours le positif.
b) Si deux nombres relatifs sont de même signe  le plus grand des deux est celui ayant la plus grande partie numérique s’ils sont tous deux positifs et au contraire celui dont la partie numérique est la plus petite s’ils sont tous deux négatifs.

6) Addition. (5^ième).
a) Si deux nombres relatifs sont de même signe la somme des deux est un nombre de même signe dont la partie numérique et la somme des deux parties numériques.
Exemple. +6 + (+7) = +13 ; – 9 + (– 3) = – 12.
b) Si deux nombres relatifs sont de signes différents la somme est un nombre de signe celui correspondant à celui des deux nombres ayant la plus grande partie numérique et dont la partie numérique est la soustraction entre la plus grand et la plus petite.
Exemple. +6 + (– 7) = – 1 ; + 9 + (– 3) = + 6.

7) Soustraction. (5^ième).
Soustraire deux nombres relatifs revient à additionner au premier l’opposé du second.

8) Distance de deux points. (5^ième).
Etant donnés A et B avec A d’abscisse x_A supérieure à x_B,  abscisse de B.
Alors AB =  x_A – x_B = «La plus grande deux abscisses – la plus petite des deux abscisses ».

9) Multiplication. (4^ième).

a) Règle des signes.
Le produit de deux nombres relatifs de même signe est un nombre positif. Celui de deux nombres de signes contraires est un nombre négatif.
Exemple. (–  4) ´ (– 11) = + 44 ; 4 ´  15 =  60 ; (– 5) ´ (+ 9) = – 45 ; 6 ´ (– 7) = – 42.

b) Inverse d’un nombre relatif.
Si le produit de deux nombres relatifs est égal à 1, ces deux nombres sont dits inverses l’un de l’autre ou que l’un est l’inverse de l’autre.
Etant donné un nombre non nul x, on note 1/x  ou x ^{- 1} l’inverse de x.

c) Produit nul.
Si l’un des facteurs d’un produit est nul alors ce produit est nul.
Exemple. 7,9 ´ 0 = 0 ; 0 ´ (–159,012) = 0

10) Division. (4^ième).

a) Règle des signes.

Le signe du quotient  est celui du produit a ´ b (avec b ¹ 0).

b) Quotient et inverse.
Diviser un nombre a par un nombre non nul b,  revient à multiplier a par l’inverse de b.

= a ´

11) Inégalité. (4^ième).
a) Etant donnés deux nombres relatifs a et b :  si a – b ³ 0 alors a ³ b.
b) Etant donnés deux nombres relatifs a et b : si a  ³  b alors a – b   ³ 0.
c) Etant donnés trois nombres relatifs a, b et c :  si a  ³  b alors a +  c  ³  b + c.
d) Etant donnés trois nombres relatifs a, b et c avec c strictement positif : 
si a  ³  b alors a ´  c  ³  b ´  c.

12) Repère orthogonal. (6^ième).
Un repère orthogonal est constitué de deux axes perpendiculaires de même origine. L’axe horizontal est appelé axe des abscisses. L’axe vertical est appelé l’axe des ordonnées. Un point du plan peut être repéré par deux nombres appelés coordonnées du point, le premier nombre est appelé abscisse, le second nombre est appelé ordonnée.

Dans la figure ci-dessus nous avons A (– 2 ; 3), B (2 ; – 1) et C (1 ; 2). On dit que les coordonnées de A sont –2 et 3 ou que l’abscisse de A est x_A = – 2 et que l’ordonnée de A est y_A = 3.