 Réponse de Jean Jacquelin
du 11/02/02 à 12h 03 à la question posée par Guy Philippe dans la page formule :
Dans ma précédente
intervention, j'ai avancé l'hypothèse que la somme S2(n) suivante pouvait
être convergente vers 0.
Ceci semble plausible au vu des résultats numériques suivants :
La figure 4 montre que les points bas de abs(n2sin(n))
présentent une tendance de croissance. La figure 5 montre que S2(n), qui se
comporte majoritairement comme 1/2n , présente des fluctuations dont l'amplitude a
tendance à décroître. Il est plus significatif, pour observer cette tendance, de
représenter abs(S2(n)-1/2n), ce qui est fait en figure 6 et qui confirme cette
tendance à la décroissance de l'amplitude des fluctuations.
Mais tout ceci reste très empirique. Un indice plus solide
consiste à remarquer que l'hypothèse de convergence de S2(n) vers 0 est liée
à la conjecture de Borwein (1989) : abs(p
-p/q) serait supérieur à 1/q2+e, e étant aussi petit que l'on veut. La preuve de la conjecture de Borwein
serait une avancée majeure pour ce problème. Malheureusement, à ce jour, cette preuve
est bien loin d'être acquise.
Réponse de Guy Philippe du
11/02/02 à 04h 01 (voir formule)
La question qui nous intéresse ici
a beaucoup à voir aussi avec le DSF de |sin(x)|.
Pour rappel pi/8|sin(x)|=S[sin^2(kx)/(4k^2-1)] pour k=1 à +infini.
Si on note S(n) la somme partielle de cette série avec x=n on a
(pi/8)n|sin(n)|=nS[sin^2(kn)/(4k^2-1)] >
nS(n)>n(1/4n^2-1)(sin^2(n)+sin^2(2n)+.....sin^2(n^2))=
n^2/(4n^2-1).(1/n)(sin^2(n)+....sin^2(n^2))
SI on savait prouver qu'il existe a>0 tel que
(1/n)(sin^2(n)+sin^2(2n)...+sin^2(n^2))>a à partir d'un certain rang N pour n
alors il serait facile de voir que (pi/8)nsin(n)>a/8 à partir d'un certain
rang d'où n^s|sin(n)| --->+infini pour s>1 ce qui irait au-delà de la conjecture
citée par Jean Jacquelin.
Pour avoir ce beau résultat il suffirait de prouver que liminf de la suite
(1/n)(sin^2(n)+sin^2(2n)+...+sin^2(n^2)) n'est pas 0 ce qui plus faible que l'existence de
la limite 1/2 envisagée précédemment.
D'ailleurs à propos du DSF de |sin(x)| avec x=n c'est pour moi un mystère absolu
de constater que l'on a en divisant par |sin(n)| on a
:pi/8=S[(1/(4k^2-1)).sin^2(kn)/|sin(n)| ] c'est à dire une série ,paramètrée par un
entier n ,à travers des sinus !!! qui est toujours absolument convergente et vers la
même limite pi/8 quel que soit l'entier n.
Qu'en pensez-vous ?
Réponse de Jean Jacquelin :
C'est en effet assez surprenant de voir une série limitée, de
terme général (1/(4k2-1)).sin2(kn)/|sin(n)| dont la somme
converge vers une constante (p/8) quelle que soit la valeur du paramètre n.
Néanmoins, on peut en démonter, dans une certaine mesure, le mécanisme. Tout
d'abord, voyons ce qui s'apparente à un petit tour de "passe-passe":
Soit une suite de fonctions de fk(x) repérées par un indice k entier et la
somme g(x) :
gn(x) = Somme de k=1 à k=n de fk(x).
Considérons la série limitée de terme général hk(n)=[fk(n)/gn(n)]
. Il est trivial de constater que :
1 = Somme de k=1 à k=n de hk(n).
Voilà une série, paramétrée par un entier n , à travers des fonctions quelconques
!!! qui est toujours absolument convergente et vers la même limite 1, quel que soit
l'entier n.
C'est un peu "gros", me direz-vous !
Néanmoins, pour peu que cela soit camouflé dans le cas où g(x) est du même genre
que f(x), voilà qui pourrait surprendre au premier abord.
Pourtant, on peut réaliser de tels "trompe l'œil" avec des familles de
fonctions présentant des relations entre elles, par exemple les fonctions sinusoïdales,
ou hyperboliques, ou d'autres.
Voici un exemple, avec une fonction hyperbolique, dont on connaît la relation suivante
:
Ce qui, avec quelques transformations, donne une
série paramétrée en n à travers un cosinus hyperbolique, dont le terme général
apparaît ci-dessous et qui converge vers une constante (1/4), quelque soit n.
On construira d'autres exemples avec d'autres
fonctions spéciales. En voici un, avec les polynômes de Bernouilli , d'autant plus
surprenant que le terme général de la série comporte deux paramètres indépendants, n
et m, et que la convergence vers la même constante (=1) est assurée quels que soient n
et m :
Bien sûr, cette formule surprenante n'est qu'une
conséquence de la propriété d'addition des paramètres entre les polynômes de
Bernouilli et une présentation "détournée" de la formule générale exprimant
cette relation.
Je ne veux pas dire par là que toutes les formules de ce genre sont systématiquement
issues de "tours de passe-passe" aussi grossiers que pour mes exemples
précédents, mais c'est probablement le cas d'un bon nombre.
Réponse de Guy Philippe
Les sommations que vous proposez ne sont pas celles de séries car dans une
série la borne supérieure de la somme partielle ne doit pas figurer dans le terme
général sinon ce que l'on obtient est une formule sommatoire et les 2 sommations sont
différentes.
Un exemple sera plus parlant.Avec le terme général (1/ln(n^k)) de paramètre n>1
Pour tout n>1 la série ayant ce terme général a sa somme partielle S(N)=somme
(1/kln(n)),k=1 à N est égale à 1/ln(n)somme(1/k,k=1 à N)----->+infini quant
N---> +infini(c'est clair)
Alors que si on remplace N par n on obtient la formule sommatoire
1/ln(n)somme(1/k,k=1 à n)qui tend clairement vers 1 quand n--->+infini.
Merci pour vos tentatives d'explication mais pour moi le mystère reste entier!
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Formule sommatoire (suite 1)
