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 Question de Olivier Guin du
27/09/01 à 15h 21 :Quelqu'un
s'aurait-il calculer le produit infini (s' il converge) des cos(Pi/n ) , pour n variant de
1 à l'infini ? Merci.
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Réponse de Jean Jacquelin
du 30/09/01 à 19h 02 :Le produit est égal à 0 à
partir de n=2 car cos(Pi/2) = 0. Lorsque n tend vers l'infini, tous les autres termes
étant compris entre 0 et 1 (ce sont des cos d'angles compris entre Pi/2 et 0), le produit
des autres termes ne peut pas tendre vers l'infini. Donc, en multipliant par 0 une valeur
finie, le résultat est bien 0. Remarque : soit P(N) = produit de cos(Pi/n) pour n=3
à N. Pour N = 3, P(3) =1/2 ; P est une fonction positive décroissante en fonction
de N (chaque terme multiplicatif est positif et inférieur à 1). Cette fonction est
bornée infieurement (elle ne peut pas être négative). Donc elle est donc convergente.
Par calcul numérique : le produit pour n = 3 à infini est voisin de 0,11494204
Réponse de J-P Houbard du
01/10/01 à 12h 48 :
Produit infini. C’est un gag. Pour n = 2, on a
cos(Pi/n) = cos(Pi/2) = 0. A partir de là, il est évident que le PRODUIT des cos(Pi/n)
pour n de 1 à l’infini à la forme P = -1 X 0 X … P est donc nul.
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Produit infini
