F(0)=0, F(1)=1, F(2)=1, F(3)=2, F(4)=3, F(5)=5, F(6)=8, …

L(0)=2, L(1)=1, L(2)=3, L(3)=4, L(4)=7, L(5)=11, …

Supposons que la propriété suivante soit vraie:

L(n-2)>F(n-1)>L(n-3) et L(n-1)>F(n)>L(n-2)

en ajoutant membre à membre ces deux inégalités, on trouve :

L(n-1)+L(n-2)>F(n)+F(n-1)>L(n-2)+L(n-3)

ce qui donne L(n)>F(n+1)>L(n-1)

Si la propriété est vraie jusqu'à n, elle l'est pour (n+1).

L(4) > F(5) > L(3) et L(5) > F(6) > L(4)

Donc la propriété est vraie pour tout n>4 et alors F(n), qui est compris entre deux L(m) successifs, ne peut pas être égal à l'un d'eux.

Il ne reste qu'à regarder les cas possibles pour n inférieur ou égal à 4 et m inférieur ou égal à 3.

Conclusion : les seuls couples possibles sont [F(1)=L(1)=1], [F(2)=L(1)=1], [F(3)=L(0)=2] et [F(4)=L(2)=3].

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