(Niveau terminal science mathématique : les élèves ne connaissent pas de
développements limités, ni la règle de l'Hospital).
MERCI

bonjour x[exp(xln(1+2/x)) - exp(2xln(1+1/x)) ] rentrer le 2 dans la deuxième exp : 2*exp(a) = exp(a²) développer le carré factoriser toute l'expression par exp(xln(1+2/x)) on obtient sauf erreur :
(...)= xexp(xln(1+2/x)) [ 1 - exp(xln( 1 + 1/(2x+x²) )) ] = exp(xln(1+2/x)) * x² * ln(1+1/(2x+x²)) * [ 1 - exp(xln( 1 + 1/(2x+x²) )) ] / [ x * ln(1+1/(2x+x²)) ] = exp(xln(1+2/x)) * x²/(2x+x²) * A * B
avec :
A = (2x+x²) * ln(1 + 1/(2x+x²) ) tend vers 1 quand x tend vers +oo ( limite de ln(1+u)/u en 0 ...)
B = [ 1 - exp(xln( 1 + 1/(2x+x²) )) ] / [ x * ln(1+1/(2x+x²)) ] tend vers -1 quand x tend vers + oo
pour B : montrer que xln( 1 + 1/(2x+x²) ) tend vers 0 ( même méthode que pour A ) puis utiliser la limite de [exp(u)-1]/u en 0 )
sauf erreur là encore, je trouve - exp(2)
quelles sont les méthodes utilisées de T S : on se ramène à chaque fois à (exp(u)-1)/u ou ln(1+u)/u limites au programme si je me souviens bien.

Réponse de J-P Houbard du 08/05/01 à 21h 50 :

y = x.[ e^(x.ln(1+(2/x))) - e^(2x.ln(1+(1+x)))].
Avec x.ln(1+(2/x)) = ln[(1+(2/x))^x].
et avec 2x.ln(1+(1/x)) = ln[(1+(1/x))^(2x)].
-> y = x.((e^( ln((1+(2/x))^x))) - (e^( ln((1+(1/x))^(2x))))).
y = x.(((1+(2/x))^x) -((1+(1/x))^(2x))).   (Equation 1).

pour x->infini on a la forme : infini * zéro.
En évitant comme demandé d'utiliser la règle de l'hospital.
Travaillons sur la partie ((1+(2/x))^x) -((1+(1/x))^(2x)) qui -> vers 0 si x
-> infini.
On a : (1+(1/x))^(2x) = ((1+(1/x))²)^x = ((1 + (2/x) + (1/x²))^x.
En développant cette équation, il vient :
= (( 1 + (2/x))^x) + ((1/x²)^x) + x.(1+(2/x)^(x-1))/x² +
(x.(1/x²)^(x-1)).(1+(2/x)) + ...
Les termes  ((1/x²)^x), (x.(1/x²)^(x-1)).(1+(2/x)), et ceux compris dans les
. sont,  si x-> infini, négligeables devant les autres.
lim (x->infini) de [(1+(1/x))^(2x)] = lim (x->infini) de (1 + (2/x))^x + 
lim (x->infini) de x.(1+(2/x)^(x-1))/x².
lim (x->infini) de [(1+(1/x))^(2x)] = lim (x->infini) de (1 + (2/x))^x + 
lim (x->infini) de (1+(2/x)^(x-1))/x.
lim (x->infini) de [(1+(1/x))^(2x)] = lim (x->infini) de (1 + (2/x))^x + 
lim (x->infini) de (1+(2/x)^(x))/(x. (1+(2 /x))).

En posant x = 2z, on a lim (x->infini) de (1 + (2/x)) ^x  = lim (z->infini)
de (1 + (1/z))^(2z).
Or on sait que lim (z->infini) de (1 + (1/z)) ^z = e  (Equation 2) ->
lim (x->infini) de (1 + (2/x)) ^x = e². (Equation 3).
Donc :
lim (x->infini) de [(1+(1/x))^(2x)] = e² + e². (1/x) / (1 + (2/x)).
Avex 2/x négligeable devant 1 ->
lim (x->infini) de [(1+(1/x))^(2x)] = e² + e². (1/x).  (Equation 4).
Avec les équations 1 à 4 ->

lim (x->infini) de x.(((1+(2/x))^x) -((1+(1/x))^(2x))) = lim(x->infini) de
x.( e² - (e² + e². (1/x)).
lim (x->infini) de x.(((1+(2/x))^x) -((1+(1/x))^(2x))) = lim(x->infini) de x
.(-e² / x) = -e².

La limite recherchée est donc -e².

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