Je ne suis pas sûr d'avoir bien compris votre question. Voici quelques réflexions à ce sujet :

Si vous vous trouvez dans la situation suivante: Quelqu'un vous dit: "J'ai une fonction que je ne vous dévoile pas. Vous pouvez me demander 1024 points de cette fonction. Avec cela, dites-moi de quelle fonction il s'agit". Votre réponse sera: "impossible de trouver avec certitude quelle est la fonction. En effet, on peut trouver autant de fonctions que l'on veut. Mais je ne peux pas deviner laquelle vous avez utilisée".

Au contraire, si la question qui vous est posée est la suivante : "J'ai choisi une fonction dans telle ou telle liste de fonctions usuelles. Vous pouvez me demander 1024 points de cette fonction. Avec cela, dites-moi de quelle fonction il s'agit". Votre réponse pourrait être: "Oui, en principe, je peux retrouver la fonction en question dans la plupart des cas. Au pire, il me faudra tester les fonctions de la liste usuelle les unes après les autres. Et je n'ai pas besoin d'autant de points, car le nombre de paramètres à déterminer est faible en général. Néanmoins, si vous avez choisi une fonction comportant plus de 1024 paramètres (comme par exemple un polynôme du 1025 ième degré, j'échouerai. Et même lorsqu'une solution est possible en théorie, je ne suis pas certain en pratique de pouvoir mener les calculs à terme, soit pour des raisons de précision de calcul numérique, soit pour des raisons de volume ou de temps de calcul".

Le problème est encore différent si on demande de trouver une fonction (n'importe laquelle) passant par 1024 points et non pas la fonction particulière qui a servi à calculer ces points.

C'est encore autre chose si l'on donne 1024 points au hasard (sans utiliser de fonction pour les calculer) ou si c'est un algorithme de génération de nombres pseudo-aléatoires qui est utilisé, cet algorithme étant une façon, bien que très spéciale, de définir une fonction.

Il y a probablement bien d'autres cas. Conclusion : La réponse est très ambiguë. Espérons que d'autres interlocuteurs vous apporterons des idées plus précises…

Réponse de Willix du 22/8/1 à 13h 25 :

Quand on se penche sur la question que vous posez, la réponse la plus courante
est alors l'interpolation de Lagrange, qui est en fait déduie d'un résultat
algébrique : On cherche, parmi les 1024 points les solutions qui permettent
d'avoir un polynôme qui s'annule en 1023 points, et en ajoutant ces polynômes
on reconstitue la fonction.
Cependant, cette méthode ne me parait pas très approprié pour votre calcul,
sauf si parmi les 1024 points il y a beaucoup de zéros.
Je vous donne quand même la formule qui permet de trouver un polynôme
interpolateur.
{Ai}={1024 points}
Le polynôme de degré 1024 qui vaut 1 en Aj et 0 aux autres points est
P= somme (x-Ai)/(Aj-Ai)
  i différent de j
En ajoutant ces polynômes, vous urez ainsi un polynome de degré 1024, ce qui ne diminue pas votre nombre d'inconnues, mais qui doit réduire le nombre de calcul fait par l'ordinateur, en effet si ma mémoire est bonne on passe d'un nombre de calcul en n^3 à n² (n étant le nombre de points où on fixe les valeurs) si on lui fait résoudre un système par la méthode du pivot de Gauss. Sinon, l'interpolation est un problème classique de mathématique, et de nombreux ouvrages lui sont consacrés, mais ils doivent être d'un niveau assez élevé. Bon courage Fifidou.

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