 Réponse de
Jean Jacquelin du 19/05/01 à 9h :
Bonjour, L'intéressante discussion avec monsieur Guy Philippe a finalement
renforcé ma confiance dans la démonstration en cause. Toutefois, certaines précautions
épistolaires sont indispensables pour que l'idée de base de cette démonstration soit
plus facile à appréhender. Cela nuit à la concision du texte et je m'en excuse.Voici
donc cette version détaillée de la démonstration proposée :
Soit epsilon réel positif fixé à priori aussi petit que l'on veut. Il est entendu
que epsilon reste inchangé dans tout ce qui suit.
Pour chaque valeur de x, on a une série désignée par Sx dont le terme général est
Sx(k)=tg(b(k).sin(k.x))
Puisque Sx(k) converge vers zéro, il existe un entier Kx fini tel que k>Kx implique
epsilon>abs(Sx(k)).
Considérons l'ensemble des Kx obtenu pour toutes les valeurs de x. Désignons par K la
valeur maximum trouvée parmi les Kx . K est un entier fini puisque K est égal à au
moins l'un des Kx qui sont tous des entiers finis.
Conclusion intermédiaire: pour un epsilon donné aussi petit que l'on veut, il existe
un entier fini K tel que k>K implique epsilon>abs(Sx(k)) quel que soit x. Cet entier
K ne dépends que de epsilon qui est fixé à priori. Donc K est fixé et reste le même
dans tout ce qui suit.
Soit n, nombre entier >0 et x=(Pi/2)/(K+n). Considérons la suite Sx correspondante.
Selon ce qui vient d'être montré, pour tout k>K, epsilon>abs(Sx(k)). Ceci est vrai
en particulier pour k=K+n. Donc epsilon>abs(Sx(K+n)).
Sx(K+n)=tg(b(k).sin((K+n).x))=tg(b(K+n).sin(Pi/2))=tg(b(K+n))
Donc epsilon>abs(tg(b(K+n)))
Pour -Pi/2<a<Pi/2 on sait que abs(tg(a)) est supérieur ou égal à abs(a). Donc,
à fortiori, epsilon>abs(b(K+n)).
Conclusion intermédiaire: pour un epsilon donné aussi petit que l'on veut, il existe
un entier K fini tel que epsilon>abs(b(K+n)) pour tout n>0.
(K+n) prends toutes les valeurs entières k telles que k>K. Donc, finalement : pour
un epsilon donné aussi petit que l'on veut, il existe un entier K fini tel que k>K
implique epsilon>abs(b(k)), ce qui prouve que la série b(k) converge vers zéro.
Réponse de Guy Philippe du
20/05/01 à 13h 07 :
Pourquoi K devrait-il être un des entiers Kx??
Une partie de l'ensemble des entiers naturels a toujours un minimum (c'est un
axiome) mais pas un maximum.
Exemple :l'ensemble des entiers pairs n'a pas de maximum
J'ai lu la preuve proposée par Richard André-Jeannin .elle est très
intéressante et assez facile à lire.Il peut vous l'envoyer par fax.
|
Cantor (un théorème de)
