 EURÉKA
Problème N°3 : triplets
On appelle triplets
pythagoriciens les triplets (x ; y ; z) constitués d’entiers, tels
que :
x2 + y2 = z2 : (E).
Montrer qu’il existe une infinité de triplets pythagoriciens (x ; y ; z)
vérifiant l'équation (E).
- Solution de Pierre
Arbeille.
Bonjour, je vous envoir ce e-mail
car je désirerais proposer une solution pour le problème numéro 3 du concours: s'il
existe un triplet (x,y,z) qui vérifie x²+y²=y² alors, si on prend un entier n n²(x²+y²)=n²z² , n²x²+n²y²=n²z² ,
(nx)²+(ny)²=(nz)² . Comme n, x, y et z sont entiers alors nx, ny et nz le sont aussi.
Alors le triplet (nx,ny,nz) est une solution. Comme n peut être remplacé par une
infinité de nombres, il existe donc une infinité de triplets.
Il faut donc au moins un triplet (x,y,z) pour qu'il y ait une infinité de triplets
(nx,ny,nz). Et comme le triplet (3,4,5) est vrai (3²+4²=5²), alors il existe bien une
infinité de solutions. Je désirerais aussi savoir à quel intervalle de temps vous
renouvellez les énigmes. Merci. Pierre Arbeille.
Autres bonnes solutions analogues à celle
de Pierre : Sandrine Dasse-Hartaut, Prad, Jean-Pierre
Lamoitier, Simon Dollé,Yann Rouillard, Colin De Bruyn, Caroline Manderon.
- Solution
d'Augustin Wenger.
Pour la démonstration de
l'infinité de triplets pythagoriciens : La différence entre deux carrés consécutifs
(n+1)²-n² est un nombre égal à 2n+1 Donc un nombre impair. Or, il existe une infinité
de nombre impairs dont le carré est impair. Il existe donc une infinité de triplets
pythagoriciens solutions (avec n entier naturel).
Solution analogue pour Ignace M.Mouzannar.
- Solution de
Patrice Mazauric.
Il existe au moins une solution,
par exemple les triplets (3 ;4 ;5 ), (12 ;16 ;20 ), (8 ;15 ;17 ), (5 ;12 ;13 ), (15 ;20
;25 ), (15 ;36 ;39 ), (12 ;35 ;37 ).
Soit (x0; y0; z0) l’une de ces solutions et k un
nombre entier, on peut facilement montrer que (kx0; ky0; kz0)
est également une solution.Démonstration :
(kx0)²+ (ky0)² = k²x0² + k²y0² =
k²(x0² +y0²) = k².z0² = (k.z0)².
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Club Lycée : triplets 