Soient les 2 suites suivantes définies symétriquement :

Et

On a alors :

En considérant l’aspect symétrique de ces 2 suites, on peut dire que et  sont comme dans un miroir. Cependant, ces 2 algorithmes ont des convergences très différentes.

Démonstrations 

Pour

Montrons par récurrence que .

Ceci est évidemment vrai au rang 1 et 2. Supposons que cela est vrai jusqu’à .

Par définition de  et par hypothèse de récurrence :

Donc 

Ainsi 

Soit 

Donc  pour tout n.

Comme  le résultat suit.

NB : Gerry Huvent a trouvé une solution un peu plus « naturelle » en  considérant la fonction génératrice : et en arrivant à une équation différentielle simple.

Pour tout n

Montrons par récurrence que .

On a bien  . Supposons que cela est vrai jusqu’à .

On a alors :

(1)

Or par définition et par hypothèse de récurrence :

En substituant dans (1) il vient :

On a ainsi pour tout , .

Il est ensuite facile d’en déduire .

Les résultats bien connus du produit de Wallis permettent d’écrire :